انتگرالگیری، انتگرالهای مرکب و آشنایی با تئوری تابع پیچیدگی

فرمت فایل: word تعداد صفحات: 120 انتگرال گیری : 1 . 6 ) انتگرال گیری Riemann – Stieltje فرض کنید که f یک تابع کران دار در محدوده ی [a,b] می باشد. اگر D یک فسمتی از [a,b] باشد می دهد : پس سپس مجموع این دو معادله می دهد (11 . 6) و تقریب زدن با انانتگرالگیری، انتگرالهای مرکب و آشنایی با تئوری تابع پیچیدگی|30021045|superior-brain|انتگرالگیری, انتگرالهای مرکب و آشنایی با تئوری تابع پیچیدگی
با ما همراه باشید با موضوع انتگرالگیری، انتگرالهای مرکب و آشنایی با تئوری تابع پیچیدگی

فرمت فایل: word



تعداد صفحات: 120









انتگرال گیری :



1 . 6 ) انتگرال گیری Riemann – Stieltje



فرض کنید که f یک تابع کران دار در محدوده ی [a,b] می باشد. اگر D یک فسمتی از [a,b] باشد می دهد :





پس



سپس مجموع این دو معادله می دهد



(11 . 6)



و تقریب زدن با انتگرال گیری Riemann می دهد، زمانیکه آن در (4 – 123 و C1 ) وجود دارد.



در گستره ی بیشتر از این فرآیند را می توان در کارهای Stieltjes مشاهده کرد، وی معرف دومین تابع می باشد یعنی g ، فرض بر افزایش [a,b] ( در یک محدوده ی کران دارد) و جایگزینی در (11 . 6) توسط . این روش جدید منجر به انتگرال گیری از f با محدوده ی g می گردد. و جمع بستن این معادله با (11 . 6) می دهد.



(12 . 6)



(13 . 6)



آنها با کم کردن (11 . 6) زمانیکه را به دست می آورند.



تشخیص کمترین و بیشترین مقدار f(x) در ضابطه ی [a,b] توسط M , m ، ما خواهیم داشت :





پس برای تمام تجزیه های D ، کمترین جمع بندی (12 . 6) و بالاترین جمع ها شامل (13 . 6) خواهد بود راحت است که شاهد معرفی روش های جدید در افزایش پایین ترین و بالاترین و کم شدن آنها در جمع باشیم. (ببینید تمرین 6(a).1 . از این به بعد که ماتزل جمع را کمتر از یا برابر با هر صعود جمعی در نظر می گیریم. برای هر محدوده ای از [a,b] را درنظر می گیریم. اگر حالا، D محدوده ی بین تمام روش های مشاهده شده درنظر بگیریم را داریم.





پس



P 140 :



تعریف . نوشتن و





در جائیکه صعودی و نزولی تمام محدوده ی D از [a,b] می باشد. اولین توضیح در مورد پایین ترین انتگرال از f با مراجعه به g در [a,b] می دهد دومین انتگرال است بالا (صعودی).



توجه داشته باشید که در جایی که f یک محدوده بین [a,b] و g است در حال افزایش خواهد بود، همچنین توسط (14 . 6)





تعریف : اگر



F گفته می شود که با رابطه ی g در محدوده ی [a,b] انتگرال گیری می شودو ارزش عمومی صعودی و نزولی انتگرال گیری ها، مشخص می شود توسط :





که این رابطه به نام Riemann و یا (RS) نامیده می شود. که به معنی انتگرال گیری f با رابطه ی g می باشد.



تابع g انتگرال گیر نامیده می شود، و تابع f انتگرال ده.



کلاس تابع قابل انتگرال خواهد بود با رابطه ی g در محدوده [a,b] که توسط R(g.a.b) مشخص می شود.



بهتر است با کامل کردن تابع RS , f که توسط انتگرال گیری به دست می آید.





(زمانیکه دست راست وجود داشته باشد) و





(برای تمام تابع های f , g ).



زمانیکه انتگرال گیری RS نزول می کند به انتگرال گیری Riemann . تابع Riemann انتگرال گیری می شود در (123) C1 که تقریباً با انتگرال گیری های قبلی که صعودی و نزولی داشتیم در این جا نداریم اما تعادل دو تابع در واحد 72 . 6 ثابت خواهد شد. دو تابع مفید هستند، مرتبه ی تابع انتگرال Riemann در محدوده ی [a,b] توسط R (a,b) مشخص خواهد شد. و صعودی و نزولی بودن Riemann توسط s(D,f) . s(D,f) جمع بندی خواهد شد.



مثال ها :



(i) هر تابع ثابت k یک انتگرال گیری RS با رابطه ی هر صعودی تابع g را دربر دارد. و





این روش از این حقیقت سرچشمه گرفته که، برای تمام





(ii) گذاشتن f در تابع تعریف می شود با :



اگر X گویاست



اگر X غیرگویاست



سپس تابع و در هر فاصله. تا زمانیکه g یک تابع صعودی است.





پس، اگر g ثابت باشد،



در پایان این مرحله ما شرایط اولیه انتگرال گیری Riemann – Stieltjg را بیان کردیم فرض کنید.



زمانیکه، ما در تابع افزایش انتگرال گیری داشته باشیم، مشخص می شود. ما با این روند داد می دهیم تا جواب قطعی برسیم.



قضیه 11 . 6 :



یک شرایط اضطراری که را داشته باشیم می دهد و محدوده ای از [a,b] از D چنین می دهد که :





15 . 6 ) دلیل (اثبات) :



(i) اگر اگر





سپس، می دهد، قسمتی از وجود دارد که :





پس :





حالا بگذارید D قسمتی از ادامه ی تمام روش های تشریحی از را اشاره کنیم.



پس :





و پس (15 . 6) اجرا می شود. (اتفاق می افتد)



142 p )



(ii) فرض کنید که برای هر یک D وجود دارد که قبل 15 . 6 اتفاق می افتد، پس :





و در ادامه ی آن داریم :



این جایگزین برای تمام و داریم :



قضیه ی بعدی در مورد انتگرال گیری Riemann . Stirltjes در دو مثال وجود دارد اما اهمیت مورد از همه چیز مهم تر است. در این اثبات و بعد از آن بلندترین فاصله ی فرعی از محدوده D را با مشخص می کنیم.



قضیه 12 . 6 )



(i) اگر f ادامه ی محدوده [a,b] باشد پس



(ii) اگر f در محدوده ی [a,b] یکنواخت باشد و g ادامه دار (صعودی هم باشد) پس :





اثبات :



(i) برای هر محدوده ی D از [a,b] ما داریم، با دقت می توان فهمید که :









وقتی که f یک کران دار یکنواخت در بازه ی [a,b] است، و ماکس آن برابر با شاید بتوان با واحد کوچکتری مثل به طور مختصر نشان داد قضیه 11 . 6 نشان می دهد که :



(ii) فرض کنید که f افزایش می یابد. پس :







توسط g یِ کردن دار یکنواخت و پس



قسمت (ii) در قضیه فوق در قسمت قضیه 24 . 6 به طور کامل توضیح داده خواهد شد.



اکنون ما در حال ثابت کردن این قضیه هستیم که انتگرال گیری RS طولانی تر از هر دو انتگرال گیر شده و انتگرال گیر می باشد.



قضیه ی 13 . 6)



(i) (a) اگر و سپس برای هر ثابت و





(b) اگر و بعد





(ii) (a) اگر و بعد برای هر k غیرثابت داریم.





(b) اگر و و بعد :



و





اثبات :



(i) (a) این قضیه به عنوان تمرین 2 و (a) 6 واقع شده است.



(b) ابتدا ما باید توجه داشته باشیم که، زمانی





(16 . 6)



حالا، داریم ، و وجود دارد پس :





و اگر D تمام محدوده ی را داشته باشد.





آز آنجایی که توسط (16 . 6) داریم :





و این اتفاق برای هر می افتد.